这几天帮一个物理专业的网友解决了一个简单的数学问题，我觉得还蛮有意思的，就写上来了，他的原始问题是：方程的解，在不考虑辐角的情况下是否唯一，其中为阶矩阵，是要求解的矩阵。这里的不考虑辐角可以认为是的特征值的虚部属于
我把原始问题稍微修改了一下，改成了如下问题，大家在看解答之前可以先自己试着做一下
117.1假设的极小多项式为
(相关资料图)
解答以下问题
(1)多项式满足
等价于
(2)设是二阶矩阵，求解方程
(1)设，其中为的若当标准型，那么属于特征值的若当块中，大小最大的为，而，现在对每一块若当块，来计算，考虑在处的泰勒展开
其中为的特征值，带入可得
从而
(2)从第一问的证明中不难得到，要找到一个多项式满足，只需要
就好了，这实际上就是一个赫米特插值问题，而赫米特插值问题是适定的，也就是说赫米特插值的解是存在唯一的，接下来设有两个特征值（可以相同），那么根据的情况，计算可得如下结果
1.若有两个相同的特征值，且可对角化，此时也有两个相同的特征值，且可对角化，此时
2.若有两个不同的特征值，则也有两个不同的特征值，通过赫米特插值可以解得
3.若有两个相同的特征值，则也有两个不同的特征值，通过赫米特插值可以解得
至于标题里提到的计算（其实也可以计算其他矩阵函数，只要它是收敛的就好了）的方法，其实就是把矩阵的极小多项式求出来后（这通常比求若当标准型，然后再把对应的求出来要简单吧），然后再做赫米特插值
明天应该就能看完数理统计部分了，不过比较繁琐的知识都被我跳过了，里面的思想其实是比较简单的
这个问题我竟然想了这么久，一开始我甚至还试图找到反例···我真的是数学系的学生吗？
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